Table des Matières
Résumé…………………………………………………………………………………………3
Abstract………………………………………………………………………………………...3
Introduction……………………………………………………………………………………4
I. Modèle à équations simultanées…………………………………………………………….6
II.Modèle à correction d’erreur en une seule étape……………………………………………7
III.Modèle spatiale…………………………………………………………………………….8
IV.Modèle à correction d’erreur à équations simultanées …………………………………….9
V.Modèle à correction d’erreur à équations simultanées spatiales…………………………….9
VI.L’adaptation en panel des modèles à correction d’erreur à équations simultanées standard et spatiale………………………………………………………………………………………9
Conclusion……………………………………………………………………………………10
Bibliographie………………………………………………………………………………….11
Résumé :
À la suite de la déficience d’un modèle performant de premier plan en économétrie, le monde scientifique semble à jamais opposé sur plusieurs théories économies, parmi lesquelles la courbe de Kuznets Environnementale, l’existence des convergences conditionnelles des économie…etc. Cette crise dont souffre le monde scientifique particulièrement dans le domaine de l’économie m’a poussé à réfléchir sur un nouveau modèle économétrique plus complexe contournant plusieurs défaillances des autres modèles : c’est le modèle à équations simultanées à correction d’erreur standard et spatial des données de panel.
Mots Clés : modèle à équations simultanées à correction d’erreur standard et spatial des données de panel, courbe de Kuznets environnementale.
Abstract :
As a result of the deficiency of a leading model of econometric performance, the scientific world seems forever opposed to several theories economies, including the Kuznets Environmental curve, the existence of conditional convergence of the economy ... etc. This crisis of which the scientific world is suffering particularly in the field of the economy pushed me to reflect on a new more complex econometric model bypassing several failures of the other models: it is the model with simultaneous equations with standard error correction and spatial data panel.
Keywords: simultaneous equation model with standard and spatial error correction of panel data, environmental Kuznets curve.
Introduction
Le modèle à équations simultanées est un ensemble des équations interreliées. Leurs usages permettent davantage de tenir compte différents aspects du phénomène que l’on désire étudier. La résolution de ce modèle s’obtient par l’intermédiaire de la technique de la substitution de l’équation simple dans la plus complexe pour en réduire le système en une équation. La réduction de ce dernier s’identifie comme l’étape au quelle une variable endogène n’est représentée qu’à droite de l’équation déduite. Etant donné que la solution consiste à quantifier les inconnus de l‘équation sous la contrainte de l’égalité. L’écriture sous forme matricielle est aussi un choix par excellence, qui sert à aboutir une solution par la technique de la diagonalisation. La nature des solutions du système pouvant être réel ou complexe. Dans le cas réel, la trajectoire de la variable est dite amortie (+) ou explosive (-) selon le signe de(s) la valeur (s) de la solution des paramètres. Dans le cas complexe, on parle plutôt d’une évolution cyclique du phénomène.
Le modèle à correction d’erreur n’est estimable quand les résidus du modèle est stationnaire. Les variables d’une équation étant chacune associées avec une marche d’erreur. La récurrence de cette dernière permet dans le calcul de la limite de la variance de déterminer une divergence dû à la dépendance de la composante temporelle. La notion de la cointégration est une première étape de l’estimation de ce modèle. L’une de condition est de contrôlé le même ordre d’intégration des variables de l’équation. Plus les variables sont intégrées du même ordre I(d) et plus la combinaison est d’ordre à d-b où b étant un réel compris entre 0 à d. Les résidus du modèle de cointégration doivent être aussi stationnaire pour pouvoir estimer un modèle à correction d’erreur.
Les modèles spatiaux qui étudient la proximité, le voisinage ou le zonage géographique se distingue du modèle standard par sa possibilité de tenir compte de la dépendance spatiale. Du point de vue économétrique, elle est déterminée grâce à l’autocorrélation spatiale. L’indicateur de Moran (1948) repose sur l’hypothèse nulle de la loi normale centrée et réduite de l’absence d’autocorrélation. Dans ce modèle, le terme d’erreur est un terme composite, qui spécifie la nature du modèle spatiale. L’hétérogénéité est une preuve d’un problème structurelle dans la zone géographique. Par ailleurs, les variables explicatives décalées consistent à des externalités. La matrice des poids au quelle les éléments diagonaux sont nuls est une matrice carrée et contigus, i.e. prenant la valeur o ou 1 selon l’existence ou l’absence des frontières communes. Concernant les modèles spatiaux, il existe sous des hypothèses prédéfinis une liaison entre les différents types des modèle spatiaux. En effet, le modèle Spatial Durbin est connu pour sa robustesse contrairement aux ses conquérants. Bien qu’il soit super sensible aux valeurs manquantes, les techniques géostatistique permet d’interpoler les valeurs manquantes. La sélection du meilleur modèle se fait en général par trois critères parmi lesquels le critère d’ascendante dite aussi Bottom up (test de multiplicateur de Lagrange), l’approche descendante (top down). Elhorst (2010) propose une approche mixte.
La considération simultanée de la variation temporelle et les observations dans l’analyse économétrique correspond à l’étude de panel.
Cependant, comment tester et estimer un modèle à correction d’erreur à équations simultanées ? Quel changement effectuerons-nous pour déplacer le modèle simple en cas de panel ? Par quel procédé sera-t-il possible pour la mise en évidence d’un modèle à équations simultanées spatiale à correction d’erreur.
L’objet d’étude global est de pouvoir assurer la conjonction de ces modèles en vue de proposer un modèle à correction à équation simultanée en données de panel. Mais de façon plus précise, nous nous intéressons d’abord à aboutir le calcul d’un modèle à équations simultanées à correction d’erreur et de proposer des tests d’identifications. Ensuite nous prétendons analyser dans le cas de panel. S’agissant du cadre spatial, l’étude simultanée du modèle à correction d’erreur à équation simultanées ainsi que les tests de vérifications.
I. Modèle à équations simultanées
Dans le cadre d’un modèle à équations simultanées, on s’intéresse plutôt à vérifier l’égalité entre une variable à un ensemble des variables prises ensemble avec un terme d’erreur. La convergence de la solution est en rapport avec l’évolution de la variable à expliquer par ses exogènes. Plus une variable décrite mieux sa fluctuation par l’intermédiaire de la variance ou les indicateurs de dispersion confondus et plus sa significativité est importante selon le test de Student. Les inconnus du modèle sont les coefficients qui déterminent les parts de contributions sur la trajectoire de la variable endogène réduite. L’équation estimable contrairement à celle dite identité, qui nécessite d’une résolution repose sur le diagnostic de la relation d’égalité entre une variable et un ensemble des variables associées avec un terme d’erreur qui s’obtient par l’estimation des paramètres (inconnus). L’équation comptable est déterminée par une relation exacte et qui ne sollicite point d’une estimation. De ce fait, plus une relation n’est pas exacte et plus elle est estimable et donc pourvue d’un terme d’erreur qui dégrade l’équilibre parfaite de l’équation. La compatibilité des variables d’un système à équations simultanées est une exigence fondamentale pour sa simplification en une équation réduite. Considérons le modèle structurel suivant : {𝑐𝑡=𝑎𝑦𝑡+𝑏+𝜇𝑡 (1)𝑦𝑡=𝑐𝑡+𝑠𝑡 (2)
Où C est la consommation, Y le revenu, S l’épargne, μ le terme d’erreur, a et b sont les coefficients du modèle. Le calcul de sa forme réduite s’obtient soit par la méthode de substitution ou par calcul matricielle. Sollicitons en premier lieu la méthode de substitution : l‘équation (2) dans l’équation (1) donne : 𝑐𝑡=𝑎[𝑐𝑡+𝑠𝑡]+𝑏+𝜇𝑡 (1−𝑎)𝑐𝑡=𝑎𝑠𝑡+𝑏+𝜇𝑡 𝑐𝑡=𝑎𝑠𝑡1−𝑎+𝑏1−𝑎+𝜇𝑡1−𝑎 (3)
L’écriture matricielle du système à équations simultanées est fondée sur l’assimilation des termes des équation du modèle :
{𝑐𝑡−𝑎𝑦𝑡−𝑏=𝜇𝑡 𝑦𝑡−𝑐𝑡−𝑠𝑡=0
(1−𝑎−1 1)(𝑐𝑡𝑦𝑡)+ (−𝑏 00−1)(1𝑠𝑡)=(𝑢𝑡0)
L’inversion de la matrice des coefficients des variables endogènes met en place la forme réduite. Il en nécessite d’un déterminant non nul et par son calcul de cofacteur nous pouvons
établir la forme inverse de la matrice. Le cofacteur tout comme le sous-système, il s’agit de remplacer le coefficient par une matrice réduite de dimension selon la règle de Gauss-pivot
L’inter jonction du modèle à équations simultanées avec le modèle à correction d’erreur est susceptible à partir de cette équation. L’équation réduite (3) est -elle alors co intégrable ?
II. Modèle à correction d’erreur en une seule étape
Le modèle à correction d’erreur est un modèle intégrant des variables en niveau et en différences premiers. Les variables auxquelles le calcul de la limite de leurs espérances, de leurs variances ou de leurs covariances dépendent de la composante temporelle sont dites divergent en d’autres termes non stationnaires. Le calcul des estimateurs d’une équation constituée des variables non stationnaire semble incohérent à la réalité observée. Il est donc important et non négligeable de considérer la notion de l’intégration des variables. Granger a démontré que le fait d’avoir le même ordre d’intégration des variables donne une combinaison de ces variables d’ordre nul. L’idée mis en évidence est la divergence dans l’évolution à court terme et sa convergence sur le long terme. La relation de cointégration est une relation d’équilibre qui s’obtient comme suit.
Soit l’équation : 𝑦𝑡=𝑎𝑥𝑡+𝑏+𝜀𝑡
Les séries sont stationnaires d’ordre 1 : 𝑦𝑡→𝐼(1) 𝑒𝑡 𝑥𝑡→𝐼(1) 𝑦𝑡−𝑎𝑥𝑡−𝑏=𝜀𝑡→𝐼(0) 𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑦𝑡,𝑥𝑡 →𝐶𝐼(𝑑,𝑑)
Le vecteur (1-a-b) caractérise l’équilibre de long terme.
La validité de la stationnarité des résidus issus du modèle permet ou pas l’estimation d’un modèle à correction d’erreur : 𝑦𝑡−𝑎̂𝑥𝑡−𝑏̂=μ𝑡→𝐼(0)
Un exemple du modèle à correction d’erreur s’annonce comme suit : Δ𝑦𝑡=𝛾Δ𝑥𝑡+𝛿(𝑦𝑡−1−𝑎𝑥𝑡−1−𝑏)+𝜗𝑡𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛿 <0
𝛿 doit être significativement négatif pour attester l’existence d’une relation de long terme, le retour vers on était d’équilibre, pour ce faire, la variable endogène retardé est censée être inférieur à la relation de long terme (𝑎𝑥𝑡−1+𝑏). Le modèle à correction d’erreur en une seule étape, constituée à la fois de dynamisme de long terme (variable en niveau) et de long termes ( en différence). On peut décomposer la relation de cointégration en deux sous équations :
L’équation de long terme :
Elle est formée par des variable en différences premières auxquelles s’ajoutent un terme d’erreur. On suppose la relation ci-dessous :
𝑦𝑡=𝑎𝑥𝑡+𝑏+𝜀𝑡 (4)
L’équation de court terme :
𝑦𝑡=𝑎0+𝑎1𝑦𝑡−1+𝑎2𝑥𝑡 +𝑎3𝑥𝑡−1 +𝜗𝑡 (5)
A long terme, le dynamisme de long terme devient le court terme et vice-versa :
𝑦𝑡=𝑦𝑡−1 𝑒𝑡 𝑥𝑡−1 =𝑥𝑡→𝑦𝑡=𝑎0+𝑎1𝑦𝑡+𝑎2𝑥𝑡 +𝑎3𝑥𝑡 +𝜗𝑡 (6)
Le modèle à correction d’erreur s’obtient à partir du dynamisme de court terme :
𝑦𝑡=𝛼0+𝛼1𝑦𝑡−1+𝛼2𝑥𝑡+𝛼3𝑥𝑡+𝜗𝑡
En ajoute de part et d’autre deux termes qui peuvent se simplifier : Δ𝑦𝑡=𝑦𝑡−𝑦𝑡−1=𝛼0+𝛼1𝑦𝑡−1−𝑦𝑡−1+𝛼2𝑥𝑡−𝛼2𝑥𝑡−1+𝛼2𝑥𝑡−1+𝛼3𝑥𝑡+𝜗𝑡
En factorise par coefficient et par variable pour converger vers le modèle à correction d’erreur : Δ𝑦𝑡=𝛾Δ𝑥𝑡+𝛿(𝑦𝑡−1−𝑎𝑥𝑡−1−𝑏)
L’approche de Engle et Granger (1987) ne permet pas d’étudier plusieurs relations de cointégration. Johansen (1988) propose une approche multivarié basé sur le maximum de vraisemblance. Il faut un rang diffèrent de 0 pour qu’il ait une relation de cointégration dans un modèle vectoriel.
III. Modèle spatiale
Le modèle spatial à la différence d’un modèle standard, elle introduit une matrice des poids exogène. La fiabilité de cette approche nécessite le contrôle de l’indicateur de mesure de l’association globale de Moran (1948). L’interaction entre des zones géographiques mesuré par un indice d’ordre 0 et 1. L’autocorrélation spatiale issue d’une organisation particulière d’une zone géographie qui est suspecté d’influencer. Par convention, une région n’est pas contiguë avec elle-même. En revanche, l’intensité de la liaison n’est pas prise en compte par la matrice de poids. On suppose le modèle ci-dessous :
𝑌=𝜌.𝑊𝑌+𝑋.𝛽+𝑊𝑋𝜃+𝜗 (7)
Avec 𝜗=𝛾.𝑊𝜇+𝜀
Dans le cas où 𝛾=0, on obtient le modèle Durbin Spatial
IV. Modèle à correction d’erreur à équations simultanées
Reprenons l’équation réduite du modèle à équations simultanées. Par changement des variables, on pose : 𝑎1−𝑎=𝜌 , 𝑏1−𝑎=𝜃, 𝜇𝑡1−𝑎 =𝜑𝑡
On obtient :
𝑐𝑡=𝜌𝑠𝑡+𝜃+𝜑𝑡 (8)
Pour élaborer aisément un modèle à correction d’erreur à équations simultanées, il faudrait que le résidu de l’équation réduite soit stationnaire autrement-dit é𝑐𝑡−𝜌𝑠𝑡−𝜃=𝜑𝑡→𝐼(0)
La validation de cette procédure permet l’estimation du modèle à équations simultanées à correction d’erreur, qui s’exprime comme suit :
Δ𝑐𝑡=𝛾Δ𝑠𝑡+𝛿(𝑐𝑡−1−𝑎𝑠𝑡−1−𝑏)+𝜗𝑡𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛿 <0 (9)
V. Modèle à correction d’erreur à équations simultanées spatiales
L’introduction de la matrice de poids comme « variable exogène » permettra sans équivoque la prise en compte de l’aspect spatiale dans le modèle à correction d’erreur à équation simultanées. Mais elle nécessite avant tout chose de vérification de la significativité de l’autocorrélation spatiale
L’écriture d’un tel modèle s’exprime comme suit :
Δ𝐶=𝛾.𝑊Δ𝑆+𝛿(𝐶′−𝑎𝑆′−𝑏)+𝑣 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛿 <0 (10)
Avec 𝑣=𝛾.𝑊𝜇+𝜀
VI. L’adaptation en panel des modèles à correction d’erreur à équations simultanées standard et spatiale
La considération de la spécificité de chaque pays d’une même zone avec le cadre spatiale et à correction d’erreur en équations simultanées semble moderniser le point de vue de l’économétrie sur les vérifications des théories économiques. Sans doute, une recherche dans ce domaine permettra l’aboutissement de ces modèles et de test de vérifications
Conclusion
La réduction en une équation réduite d’un modèle à équations simultanées exigerait une cointégration afin d’en déduire un modèle à correction d’erreur à équations simultanées. Cette approche va certainement proposer des estimateurs encore mieux efficients pour permettre de trancher sur plusieurs articles contradictoires. De plus l’introduction de la matrice des poids dans un tel modèle ne fera que renforcer ses capacités dans la prise en compte des effets spatiaux. Ici, la correction d’erreur est venue avant l’intégration de la matrice des poids. Bien qu’il soit en cours de développement, une équation spatiale à correction d’erreur ou une équation à correction d’erreur spatiale ne serait pas identique. En outre, la prise en compte des aspects plus complexes dans un modèle performant palliant les défaillances des autres modèles permettra de proposer un consensus dans un monde scientifique perplexe. Le modèle par excellence serait celui à correction d’erreur à équations simultanées spatiale ou standard en panel.
Bibliographie :
A Trognon - 2003 - L'économétrie des panels en perspective C Hurlin, V Mignon - 2007 - Une synthèse des tests de cointégration sur données de panel F Maurel – 1989 - Modèles à correction d'erreur: l'apport de la théorie de la co-intégration
JP Urbain - 1990 -Modèles à correction d'erreur et fonctions d'importations agrégées J Le Gallo - 2002 - Econométrie spatiale: l'autocorrélation spatiale dans les modèles de régression linéaire R Brunet - 1980 -La composition des modèles dans l'analyse spatiale
As a result of the deficiency of a leading model of econometric performance, the scientific world seems forever opposed to several theories economies, including the Kuznets Environmental curve, the existence of conditional convergence of the economy ... etc. This crisis of which the scientific world is suffering particularly in the field of the economy pushed me to reflect on a new more complex econometric model bypassing several failures of the other models: it is the model with simultaneous equations with standard error correction and spatial data panel.
Keywords: simultaneous equation model with standard and spatial error correction of panel data, environmental Kuznets curve.
Introduction
Le modèle à équations simultanées est un ensemble des équations interreliées. Leurs usages permettent davantage de tenir compte différents aspects du phénomène que l’on désire étudier. La résolution de ce modèle s’obtient par l’intermédiaire de la technique de la substitution de l’équation simple dans la plus complexe pour en réduire le système en une équation. La réduction de ce dernier s’identifie comme l’étape au quelle une variable endogène n’est représentée qu’à droite de l’équation déduite. Etant donné que la solution consiste à quantifier les inconnus de l‘équation sous la contrainte de l’égalité. L’écriture sous forme matricielle est aussi un choix par excellence, qui sert à aboutir une solution par la technique de la diagonalisation. La nature des solutions du système pouvant être réel ou complexe. Dans le cas réel, la trajectoire de la variable est dite amortie (+) ou explosive (-) selon le signe de(s) la valeur (s) de la solution des paramètres. Dans le cas complexe, on parle plutôt d’une évolution cyclique du phénomène.
Le modèle à correction d’erreur n’est estimable quand les résidus du modèle est stationnaire. Les variables d’une équation étant chacune associées avec une marche d’erreur. La récurrence de cette dernière permet dans le calcul de la limite de la variance de déterminer une divergence dû à la dépendance de la composante temporelle. La notion de la cointégration est une première étape de l’estimation de ce modèle. L’une de condition est de contrôlé le même ordre d’intégration des variables de l’équation. Plus les variables sont intégrées du même ordre I(d) et plus la combinaison est d’ordre à d-b où b étant un réel compris entre 0 à d. Les résidus du modèle de cointégration doivent être aussi stationnaire pour pouvoir estimer un modèle à correction d’erreur.
Les modèles spatiaux qui étudient la proximité, le voisinage ou le zonage géographique se distingue du modèle standard par sa possibilité de tenir compte de la dépendance spatiale. Du point de vue économétrique, elle est déterminée grâce à l’autocorrélation spatiale. L’indicateur de Moran (1948) repose sur l’hypothèse nulle de la loi normale centrée et réduite de l’absence d’autocorrélation. Dans ce modèle, le terme d’erreur est un terme composite, qui spécifie la nature du modèle spatiale. L’hétérogénéité est une preuve d’un problème structurelle dans la zone géographique. Par ailleurs, les variables explicatives décalées consistent à des externalités. La matrice des poids au quelle les éléments diagonaux sont nuls est une matrice carrée et contigus, i.e. prenant la valeur o ou 1 selon l’existence ou l’absence des frontières communes. Concernant les modèles spatiaux, il existe sous des hypothèses prédéfinis une liaison entre les différents types des modèle spatiaux. En effet, le modèle Spatial Durbin est connu pour sa robustesse contrairement aux ses conquérants. Bien qu’il soit super sensible aux valeurs manquantes, les techniques géostatistique permet d’interpoler les valeurs manquantes. La sélection du meilleur modèle se fait en général par trois critères parmi lesquels le critère d’ascendante dite aussi Bottom up (test de multiplicateur de Lagrange), l’approche descendante (top down). Elhorst (2010) propose une approche mixte.
La considération simultanée de la variation temporelle et les observations dans l’analyse économétrique correspond à l’étude de panel.
Cependant, comment tester et estimer un modèle à correction d’erreur à équations simultanées ? Quel changement effectuerons-nous pour déplacer le modèle simple en cas de panel ? Par quel procédé sera-t-il possible pour la mise en évidence d’un modèle à équations simultanées spatiale à correction d’erreur.
L’objet d’étude global est de pouvoir assurer la conjonction de ces modèles en vue de proposer un modèle à correction à équation simultanée en données de panel. Mais de façon plus précise, nous nous intéressons d’abord à aboutir le calcul d’un modèle à équations simultanées à correction d’erreur et de proposer des tests d’identifications. Ensuite nous prétendons analyser dans le cas de panel. S’agissant du cadre spatial, l’étude simultanée du modèle à correction d’erreur à équation simultanées ainsi que les tests de vérifications.
I. Modèle à équations simultanées
Dans le cadre d’un modèle à équations simultanées, on s’intéresse plutôt à vérifier l’égalité entre une variable à un ensemble des variables prises ensemble avec un terme d’erreur. La convergence de la solution est en rapport avec l’évolution de la variable à expliquer par ses exogènes. Plus une variable décrite mieux sa fluctuation par l’intermédiaire de la variance ou les indicateurs de dispersion confondus et plus sa significativité est importante selon le test de Student. Les inconnus du modèle sont les coefficients qui déterminent les parts de contributions sur la trajectoire de la variable endogène réduite. L’équation estimable contrairement à celle dite identité, qui nécessite d’une résolution repose sur le diagnostic de la relation d’égalité entre une variable et un ensemble des variables associées avec un terme d’erreur qui s’obtient par l’estimation des paramètres (inconnus). L’équation comptable est déterminée par une relation exacte et qui ne sollicite point d’une estimation. De ce fait, plus une relation n’est pas exacte et plus elle est estimable et donc pourvue d’un terme d’erreur qui dégrade l’équilibre parfaite de l’équation. La compatibilité des variables d’un système à équations simultanées est une exigence fondamentale pour sa simplification en une équation réduite. Considérons le modèle structurel suivant : {𝑐𝑡=𝑎𝑦𝑡+𝑏+𝜇𝑡 (1)𝑦𝑡=𝑐𝑡+𝑠𝑡 (2)
Où C est la consommation, Y le revenu, S l’épargne, μ le terme d’erreur, a et b sont les coefficients du modèle. Le calcul de sa forme réduite s’obtient soit par la méthode de substitution ou par calcul matricielle. Sollicitons en premier lieu la méthode de substitution : l‘équation (2) dans l’équation (1) donne : 𝑐𝑡=𝑎[𝑐𝑡+𝑠𝑡]+𝑏+𝜇𝑡 (1−𝑎)𝑐𝑡=𝑎𝑠𝑡+𝑏+𝜇𝑡 𝑐𝑡=𝑎𝑠𝑡1−𝑎+𝑏1−𝑎+𝜇𝑡1−𝑎 (3)
L’écriture matricielle du système à équations simultanées est fondée sur l’assimilation des termes des équation du modèle :
{𝑐𝑡−𝑎𝑦𝑡−𝑏=𝜇𝑡 𝑦𝑡−𝑐𝑡−𝑠𝑡=0
(1−𝑎−1 1)(𝑐𝑡𝑦𝑡)+ (−𝑏 00−1)(1𝑠𝑡)=(𝑢𝑡0)
L’inversion de la matrice des coefficients des variables endogènes met en place la forme réduite. Il en nécessite d’un déterminant non nul et par son calcul de cofacteur nous pouvons
établir la forme inverse de la matrice. Le cofacteur tout comme le sous-système, il s’agit de remplacer le coefficient par une matrice réduite de dimension selon la règle de Gauss-pivot
L’inter jonction du modèle à équations simultanées avec le modèle à correction d’erreur est susceptible à partir de cette équation. L’équation réduite (3) est -elle alors co intégrable ?
II. Modèle à correction d’erreur en une seule étape
Le modèle à correction d’erreur est un modèle intégrant des variables en niveau et en différences premiers. Les variables auxquelles le calcul de la limite de leurs espérances, de leurs variances ou de leurs covariances dépendent de la composante temporelle sont dites divergent en d’autres termes non stationnaires. Le calcul des estimateurs d’une équation constituée des variables non stationnaire semble incohérent à la réalité observée. Il est donc important et non négligeable de considérer la notion de l’intégration des variables. Granger a démontré que le fait d’avoir le même ordre d’intégration des variables donne une combinaison de ces variables d’ordre nul. L’idée mis en évidence est la divergence dans l’évolution à court terme et sa convergence sur le long terme. La relation de cointégration est une relation d’équilibre qui s’obtient comme suit.
Soit l’équation : 𝑦𝑡=𝑎𝑥𝑡+𝑏+𝜀𝑡
Les séries sont stationnaires d’ordre 1 : 𝑦𝑡→𝐼(1) 𝑒𝑡 𝑥𝑡→𝐼(1) 𝑦𝑡−𝑎𝑥𝑡−𝑏=𝜀𝑡→𝐼(0) 𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑦𝑡,𝑥𝑡 →𝐶𝐼(𝑑,𝑑)
Le vecteur (1-a-b) caractérise l’équilibre de long terme.
La validité de la stationnarité des résidus issus du modèle permet ou pas l’estimation d’un modèle à correction d’erreur : 𝑦𝑡−𝑎̂𝑥𝑡−𝑏̂=μ𝑡→𝐼(0)
Un exemple du modèle à correction d’erreur s’annonce comme suit : Δ𝑦𝑡=𝛾Δ𝑥𝑡+𝛿(𝑦𝑡−1−𝑎𝑥𝑡−1−𝑏)+𝜗𝑡𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛿 <0
𝛿 doit être significativement négatif pour attester l’existence d’une relation de long terme, le retour vers on était d’équilibre, pour ce faire, la variable endogène retardé est censée être inférieur à la relation de long terme (𝑎𝑥𝑡−1+𝑏). Le modèle à correction d’erreur en une seule étape, constituée à la fois de dynamisme de long terme (variable en niveau) et de long termes ( en différence). On peut décomposer la relation de cointégration en deux sous équations :
L’équation de long terme :
Elle est formée par des variable en différences premières auxquelles s’ajoutent un terme d’erreur. On suppose la relation ci-dessous :
𝑦𝑡=𝑎𝑥𝑡+𝑏+𝜀𝑡 (4)
L’équation de court terme :
𝑦𝑡=𝑎0+𝑎1𝑦𝑡−1+𝑎2𝑥𝑡 +𝑎3𝑥𝑡−1 +𝜗𝑡 (5)
A long terme, le dynamisme de long terme devient le court terme et vice-versa :
𝑦𝑡=𝑦𝑡−1 𝑒𝑡 𝑥𝑡−1 =𝑥𝑡→𝑦𝑡=𝑎0+𝑎1𝑦𝑡+𝑎2𝑥𝑡 +𝑎3𝑥𝑡 +𝜗𝑡 (6)
Le modèle à correction d’erreur s’obtient à partir du dynamisme de court terme :
𝑦𝑡=𝛼0+𝛼1𝑦𝑡−1+𝛼2𝑥𝑡+𝛼3𝑥𝑡+𝜗𝑡
En ajoute de part et d’autre deux termes qui peuvent se simplifier : Δ𝑦𝑡=𝑦𝑡−𝑦𝑡−1=𝛼0+𝛼1𝑦𝑡−1−𝑦𝑡−1+𝛼2𝑥𝑡−𝛼2𝑥𝑡−1+𝛼2𝑥𝑡−1+𝛼3𝑥𝑡+𝜗𝑡
En factorise par coefficient et par variable pour converger vers le modèle à correction d’erreur : Δ𝑦𝑡=𝛾Δ𝑥𝑡+𝛿(𝑦𝑡−1−𝑎𝑥𝑡−1−𝑏)
L’approche de Engle et Granger (1987) ne permet pas d’étudier plusieurs relations de cointégration. Johansen (1988) propose une approche multivarié basé sur le maximum de vraisemblance. Il faut un rang diffèrent de 0 pour qu’il ait une relation de cointégration dans un modèle vectoriel.
III. Modèle spatiale
Le modèle spatial à la différence d’un modèle standard, elle introduit une matrice des poids exogène. La fiabilité de cette approche nécessite le contrôle de l’indicateur de mesure de l’association globale de Moran (1948). L’interaction entre des zones géographiques mesuré par un indice d’ordre 0 et 1. L’autocorrélation spatiale issue d’une organisation particulière d’une zone géographie qui est suspecté d’influencer. Par convention, une région n’est pas contiguë avec elle-même. En revanche, l’intensité de la liaison n’est pas prise en compte par la matrice de poids. On suppose le modèle ci-dessous :
𝑌=𝜌.𝑊𝑌+𝑋.𝛽+𝑊𝑋𝜃+𝜗 (7)
Avec 𝜗=𝛾.𝑊𝜇+𝜀
Dans le cas où 𝛾=0, on obtient le modèle Durbin Spatial
IV. Modèle à correction d’erreur à équations simultanées
Reprenons l’équation réduite du modèle à équations simultanées. Par changement des variables, on pose : 𝑎1−𝑎=𝜌 , 𝑏1−𝑎=𝜃, 𝜇𝑡1−𝑎 =𝜑𝑡
On obtient :
𝑐𝑡=𝜌𝑠𝑡+𝜃+𝜑𝑡 (8)
Pour élaborer aisément un modèle à correction d’erreur à équations simultanées, il faudrait que le résidu de l’équation réduite soit stationnaire autrement-dit é𝑐𝑡−𝜌𝑠𝑡−𝜃=𝜑𝑡→𝐼(0)
La validation de cette procédure permet l’estimation du modèle à équations simultanées à correction d’erreur, qui s’exprime comme suit :
Δ𝑐𝑡=𝛾Δ𝑠𝑡+𝛿(𝑐𝑡−1−𝑎𝑠𝑡−1−𝑏)+𝜗𝑡𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛿 <0 (9)
V. Modèle à correction d’erreur à équations simultanées spatiales
L’introduction de la matrice de poids comme « variable exogène » permettra sans équivoque la prise en compte de l’aspect spatiale dans le modèle à correction d’erreur à équation simultanées. Mais elle nécessite avant tout chose de vérification de la significativité de l’autocorrélation spatiale
L’écriture d’un tel modèle s’exprime comme suit :
Δ𝐶=𝛾.𝑊Δ𝑆+𝛿(𝐶′−𝑎𝑆′−𝑏)+𝑣 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛿 <0 (10)
Avec 𝑣=𝛾.𝑊𝜇+𝜀
VI. L’adaptation en panel des modèles à correction d’erreur à équations simultanées standard et spatiale
La considération de la spécificité de chaque pays d’une même zone avec le cadre spatiale et à correction d’erreur en équations simultanées semble moderniser le point de vue de l’économétrie sur les vérifications des théories économiques. Sans doute, une recherche dans ce domaine permettra l’aboutissement de ces modèles et de test de vérifications
Conclusion
La réduction en une équation réduite d’un modèle à équations simultanées exigerait une cointégration afin d’en déduire un modèle à correction d’erreur à équations simultanées. Cette approche va certainement proposer des estimateurs encore mieux efficients pour permettre de trancher sur plusieurs articles contradictoires. De plus l’introduction de la matrice des poids dans un tel modèle ne fera que renforcer ses capacités dans la prise en compte des effets spatiaux. Ici, la correction d’erreur est venue avant l’intégration de la matrice des poids. Bien qu’il soit en cours de développement, une équation spatiale à correction d’erreur ou une équation à correction d’erreur spatiale ne serait pas identique. En outre, la prise en compte des aspects plus complexes dans un modèle performant palliant les défaillances des autres modèles permettra de proposer un consensus dans un monde scientifique perplexe. Le modèle par excellence serait celui à correction d’erreur à équations simultanées spatiale ou standard en panel.
Bibliographie :
A Trognon - 2003 - L'économétrie des panels en perspective C Hurlin, V Mignon - 2007 - Une synthèse des tests de cointégration sur données de panel F Maurel – 1989 - Modèles à correction d'erreur: l'apport de la théorie de la co-intégration
JP Urbain - 1990 -Modèles à correction d'erreur et fonctions d'importations agrégées J Le Gallo - 2002 - Econométrie spatiale: l'autocorrélation spatiale dans les modèles de régression linéaire R Brunet - 1980 -La composition des modèles dans l'analyse spatiale
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